谈谈Metric Learning (I)

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最近在学metric learning，主要解决在Indoor Sensor Network中对各类传感数据特征的提取和转换的问题，metric learning自从02年以来得到了很多关注，虽然有人诟病它是子空间学习换汤不换药的产物，但是也许，换个说法它的确会受到更多关注，从而在不断发展中显出价值。

1. 关于Metric

• pairwise metrics往往是用于度量两个对象相似度（similarity or distance）的；
• metrics在machine learning中无处不在，选择一个有效的metric，往往能够简化问题，提高解决问题的效率和效果；
• metric的应用场景包括分类、聚类、检索和排序、高维数据可视化等。

2. Metric基础

2.1 距离函数定义

A distance over a set $\mathit{X}$ is a pairwise function $d: \mathit{X} \times \mathit{X} \rightarrow \mathbb{R}$ which satisfies the following properties $\forall x, x’, x’’ \in \mathit{X}$:

1. 非负性 Nonnegativity: $d(x,x’) \geq 0$
2. 同一性 Identity of Indiscernibles: $d(x,x’) = 0$ if and only if $x = x’$
3. 对称性 Symmetry : $d(x,x’) = d(x’,x)$
4. 三角不等性 Triangle Inequality : $d(x,x’’) \leq d(x,x’) + d(x’,x’’)$

2.2 相似函数定义

a (dis)similarity function is a pairwise function $\mathit{K}: \mathit{X} \times \mathit{X} \rightarrow \mathbb{R}$.

$\mathit{K}$ is symmetric if $\forall x,x’ \in \mathit{X}, \mathit{K}(x,x’) = \mathit{K}(x’,x)$.

2.3 Minkowski Distance

$d_p(x,x’) = ||x - x’||_p = (\sum\limits_{i=1}^{d}|(x_i - x’_i)^{p}|)^{\frac{1}{p}}$

$p=1$：Manhattan distance 曼哈顿距离
$p =2$：Euclidean distance 欧氏距离
$p \rightarrow \infty$：Chebyshev distance 切比雪夫距离，相当于取各维度差的最大值

2.4 Manhalanobis Distance

$d_M(x,x’) = \sqrt{(x-x’)^TM(x-x’)}$.

其中，$M$是一个对称半正定矩阵（symmetric PSD matrix），对于$M$的解释，可以这样认为，假设$x,x’$是随机向量，符合同样的分布，且其协方差矩阵（covariance matrix）是$\Sigma$，那么，我们可得到$M = \Sigma^{-1}$.

2.5 Cosine distance

在数据挖掘和信息检索中一个常用的metric是cosine distance，在bag-of-words和sparse vectors中都有很好的应用，是这样定义的：

$K_{cos}(x,x’) = \frac{x^Tx’}{||x||_2||x’||_2}$

类似于计算两个vector的夹角，即方向上有多靠近，下标用的是二范数。

2.6 Bilinear similarity

与2.4写出的马氏距离Manhalanobis distance类似，是由一个矩阵$M \in \mathbb{R}^{d \times d}$来parameterize的，但不要求为半正定或者对称

$K_M(x,x’) = x^TMx’$

2.7 KL散度

又称KL距离，KL-divergence，常用来衡量两个概率分布的距离。

先从熵（entropy）开始说起：

给定一个字符集的概率分布$\mathit{X}$，可设计一种编码，使得表示该字符集组成的字符串平均需要的比特数最少。对$x \in \mathit{X}$，设其出现概率为$P(x)$，那么其最优编码平均需要的比特数等于这个字符集的熵为

$H(x) = \sum\limits_{x \in \mathit{X}} P(x) {log}{\frac{1}{P(x)}}$

如此，同样的字符集上，假设存在另一个概率分布$Q(X)$。如果用概率分布$P(X)$的最优编码（即字符x的编码长度等于$log(\frac{1}{P(x)})$，来为符合分布$Q(X)$的字符编码，那么表示这些字符就会比理想情况多用一些比特数。

KL-divergence就是用来衡量这种情况下平均每个字符多用的比特数，因此可以用来衡量两个分布的距离。表达公式为：

$D_{KL}(Q \parallel P) = \sum\limits_{x \in \mathit{X}} Q(x) {log}{\frac{1}{P(x)}} - \sum\limits_{x \in \mathit{X}} Q(x) {log}{\frac{1}{Q(x)}} = \sum\limits_{x \in \mathit{X}} Q(x) {log}{\frac{Q(x)}{P(x)}}$

KL散度是不对称的，且KL散度始终是大于零的， 简单的证明在此。

3. 凸优化

凸优化（Convex Optimization）实在是太过于重要，这里应该有很多篇幅来讲，这里只讲对于后续有用的一些重要性质：

1. function $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is convex if $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n, 0 \leq a \leq 1 \Rightarrow f(ax_1 + (1-a)x_2) \leq af(x_1) + (1-a)f(x_2)$
2. function $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is convex iff its Hessian matrix $\triangledown^2f(x)$ is PSD
3. if function $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is convex, then any local minimum of function $f$ is also a global minimum of $f$

在凸优化中常用的投影梯度下降算法请看这里。

结语

这些都准备好了，下一篇我们开始讲讲metric learning的主要思想和一些分支。

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